研究 01
Berry–Esseen Bounds for Periodic Langevin Dynamics
论文撰写中
周期 Langevin 系统需要演化多长时间，其展开到实空间的位移才能由高斯分布准确近似？本项目为这一有限时间误差建立定量界，尤其关注低摩擦参数下的奇异极限。
美国国家科学基金会（NSF）资助 ·
项目编号 DMS-2246491
分析基础。 这项研究贯穿了测度论概率的方法，并运用 Lp 矩估计、条件期望、遍历平均和弱收敛论证。这些工具使我在测度论指导研修中积累的知识直接服务于 Langevin 动力学研究。
核心贡献 · 命题 11.1
以 γT 刻画弛豫尺度
等价地，依赖摩擦参数的 Berry–Esseen 常数可选为满足
在一维情形下，我证明了一个显式刻画摩擦参数依赖关系的 Berry–Esseen 估计。该界表明，有效弛豫周期数由 γT 决定，不能仅用观测时间 T 来衡量。
证明思路
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01
按弛豫尺度采样。
将过程划分为长度与 γ-1 同阶的时间块，构造离散骨架链。
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02
建立一致混合估计。
对连续时间半群估计进行尺度变换，使采样链的谱隙在小 γ 范围内具有一致下界。
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03
控制矩与方差。
为分块平均速度建立一致四阶矩界，并利用一维扩散系数的下界排除方差退化。
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04
应用一致 Berry–Esseen 定理。
在 Markov 加性过程框架下，得到 Kolmogorov 距离的 C/√(γT) 误差界。
其他工作
- 为位移问题建立 Berry–Esseen 分析框架。
- 证明过阻尼情形下的投影结果。
- 在 Markov 加性过程框架下直接处理欠阻尼位移问题。
- 完成最初的数值示例，并撰写第一部分初稿。
研究 02
Prediction, Model Risk, and Stochastic Sensitivity in Nonlinear MBS Pricing Models
研究进行中
本项目研究：在现有抵押贷款支持证券（MBS）定价偏微分方程中引入随机扰动与非线性 p-Laplacian 扩散，能否提高模型的预测能力？
用真实市场数据检验时，这些修改究竟能带来多大的预测改进？
问题的提出与研究进展
我最初提出在定价方程中引入随机噪声，以考察市场不确定性如何影响模型预测。在与导师讨论后，项目进一步加入 p-Laplacian 算子，用以描述非线性扩散。由此形成的研究思路，将理论分析、市场回测与随机模型风险分析联系起来。
已完成 · 理论基础
文献研读与推导梳理
我将导师提供的论文拆解为专题研读与汇报，逐步复现其中的关键推导，理解模型背后的数学结构。
- 将非线性 MBS 定价方程化为半线性热方程。
- 建立非线性映射的 Lipschitz 估计。
- 利用不动点方法证明弱解的存在唯一性。
- 推导 Black–Scholes 算子的 p-扩散推广。
已完成 · 实证探索
市场回测与数值分析
我使用真实交易数据搭建了初步的市场回测流程，开展数值实验，并讨论了特定参数区间和特殊情形下模型的金融含义。
核心目标是检验：相较原方程，随机与非线性扩展是否带来了可量化的改进。
初步实证结果
尚未得出明确结论，但识别了关键问题
初步回测尚未显示出相较基准模型稳定、且具有清晰经济解释的改进。实验揭示了若干关键问题：参数识别、模型输出与实际交易观测的对齐，以及如何区分非线性扩散与其他市场机制的影响。这些局限也为下一阶段的研究提供了方向。
下一阶段：随机分析
01
均方敏感性
通过如下形式的均方估计，量化模型输入与系数的扰动如何传递到定价解：E||uε(t) − u0(t)||2.
02
噪声驱动的数值模拟
在不同噪声强度、非线性扩散参数及具有金融意义的参数区间下，对比理论敏感性估计与数值结果。
03
模型风险及其解释
研究非线性扩散会抑制还是放大不确定性，并辨识导致预测表现变化的具体机制。
金融视角。 偏微分方程分析服务于定价与模型风险问题：不确定性下的预测、对模型假设的敏感性，以及市场环境变化时模型行为的经济解释。
研究 03
Random Matrix Theory and Quantum Expanders
ISmART 研究项目
本项目研究 Haar 分布酉矩阵所引出的算子理论问题，重点关注非正规性、交换子下界，以及与量子扩张子相关的有限维模型。
理论研究
Haar 酉矩阵与交换子界
我研究了 Haar 分布酉矩阵、malnormal 矩阵及交换子下界，并考察它们与量子扩张子构造之间的联系。
计算工作
非正规谱与伪谱
我设计数值实验，考察非正规矩阵的谱行为与伪谱，并完成技术报告，将计算结果与相关算子理论问题相联系。