研究 01
Berry–Esseen Bounds for Periodic Langevin Dynamics
研究海报
O. Smith、A. Valse、D. Wu（按姓氏字母顺序排列）。论文即将发布。指导教师：David P. Herzog 教授。
本项目为周期 Langevin 动力学的展开位移建立 Berry–Esseen 型定量高斯近似界。我研究命题 11.1 的出发点是：当摩擦参数 \(\gamma\) 趋于零时，如何控制主定理中 Berry–Esseen 常数对 \(\gamma\) 的依赖？
美国国家科学基金会（NSF）资助 ·
项目编号 DMS-2246491
我的贡献
- 为展开位移建立 Berry–Esseen 分析框架，并证明过阻尼情形下的结果。
- 通过直接将位移作为 Markov 加性过程处理，证明欠阻尼情形下的主要定理及相关命题；其中假设 (A2) 的验证由 O. Smith 完成。
- 在命题 11.1 中证明：对从平衡分布出发的一维周期欠阻尼动力学，当正摩擦参数 \(\gamma\) 足够小时，Berry–Esseen 常数可选为满足 \(C_{\gamma} \le C\gamma^{-1/2}\)，其中 C 不依赖 \(\gamma\)。
- 完成过阻尼与欠阻尼输运模拟，计算常数对摩擦的依赖，并与平均化能量动力学比较。
合作稿件还包含 A. Valse 的其他数值研究。
核心贡献 · 命题 11.1
低摩擦情形下 Berry–Esseen 常数的控制
对从平衡分布出发的一维周期欠阻尼系统，我证明：当正摩擦参数 \(\gamma\) 足够小时，Berry–Esseen 常数可选为满足
\[ C_{\gamma} \le C\gamma^{-1/2}. \]
其中 C 不依赖 \(\gamma\) 和观察时间。
等价地，对 \(T \ge 1\)，Kolmogorov 距离满足
\[ d_K\!\left(\mathcal{L}(Y_T^{\gamma}),\,\mathcal{N}(0,\sigma_{\gamma}^{2})\right) \le \frac{C}{\sqrt{\gamma T}}. \]
\(C/\sqrt{\gamma T}\) 的形式说明 \(\gamma T\) 是误差界中的组合参数；这一结果的重点是明确控制 Berry–Esseen 常数对 \(\gamma\) 的依赖。
证明思路
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01
按弛豫尺度采样。
将过程划分为长度与 \(\gamma^{-1}\) 同阶的时间块，构造离散骨架链。
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02
建立一致混合估计。
对连续时间半群估计进行尺度变换，使采样链的谱隙在小 \(\gamma\) 范围内具有一致下界。
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03
控制矩与方差。
为分块平均速度建立一致四阶矩界，并利用一维扩散系数的下界排除方差退化。
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04
应用一致 Berry–Esseen 定理。
在 Markov 加性过程框架下，得到 Kolmogorov 距离的 \(C/\sqrt{\gamma T}\) 误差界。
研究 02
非线性 MBS 定价中的随机提前还款敏感性
论文草稿
我研究提前还款强度的小随机变化如何影响抵押贷款支持证券（MBS）的价格。当前手稿聚焦 \(p=2\) 的 Papi–Briani 模型，利用概率表示识别价格的一阶响应、控制近似误差，并量化由此产生的均值和方差变化。
随机提前还款环境如何改变定价解，以及它的均值和方差？
当前手稿 · \(p=2\) 下的随机系数模型
模型在 \(\mathbb{R}^2\) 上追踪金融因子与累计提前还款量，并将提前还款强度扰动为 \(\eta^{\varepsilon}=\eta^0(1+\varepsilon\zeta)\)，其中 \(\zeta\) 具有连续路径和确定性一致上界。每一种系数情景对应一个退化非线性定价 PDE。环境噪声用于选取系数情景，BSDE 中的布朗运动则是表示该情景下定价解的辅助工具。
- 利用 Papi 的黏性解理论获得适定性与价格界，再通过未知量变换消去梯度二次项，建立 Lipschitz BSDE 表示。
- 建立有界线性响应算子与一致二阶余项，得到解映射在上确界范数下的 Fréchet 可微性。
- 推导均方敏感性、平均价格偏差及 Hilbert 空间方差展开，并用输入噪声的协方差表示价格方差的主导项。
- 允许连续有界扰动，无需扰动的时间导数，也无需价格的经典空间导数。
手稿结果 · 定理 1.1 与推论 1.2
价格的一阶响应与二阶余项
\[ P^{\varepsilon}=P^0+\varepsilon Y+R^{\varepsilon},\qquad Y=L\zeta. \]
这里 \(P^{\varepsilon}\) 是证券总价值，\(L\) 是由正倒向变分系统确定的有界线性算子。在手稿的假设下，当 \(\varepsilon\) 足够小时，几乎处处有
\[ \lVert R^{\varepsilon}\rVert_{\infty}\le C\varepsilon^2\lVert\zeta\rVert_{\infty}^2. \]
该界对状态和时间一致成立，并给出 \(L^2(\Omega;C([0,T];H))\) 中的 \(O(\varepsilon^2)\) 余项，其中 \(H=L^2(\mathbb{R}^2,\nu)\)，\(\nu\) 为概率测度。对于中心化扰动，平均价格偏差为 \(O(\varepsilon^2)\)，且下式对 \(t\) 一致成立：
\[ \operatorname{Var}_H(P^{\varepsilon}(t))=\varepsilon^2\mathbb{E}\lVert Y(t)\rVert_H^2+O(|\varepsilon|^3). \]
证明思路 · 从定价 PDE 到价格响应
先由黏性解适定性获得有界的价格区间，再用幂变换消去梯度二次项，将变换后的解识别为 Lipschitz BSDE 的值函数。随后线性化正向提前还款动力学和倒向方程，控制 Taylor 余项，再通过逆变换得到一致敏感性估计。确定性响应核进一步将价格方差的主导项与提前还款扰动的协方差联系起来。
下一阶段计划 · 2027 年春季
加入加性噪声的 SPDE 扩展
2027 年春季，我计划直接在 MBS 演化方程中加入加性随机驱动，推进 SPDE 研究。拟研究的形式示意为：
\[ du_t^{\varepsilon}=\mathcal{F}(t,u_t^{\varepsilon})\,dt+\varepsilon G(t)\,dW_t. \]
其中 \(\mathcal{F}\) 表示选定的 MBS PDE 算子，\(W\) 为 Wiener 过程，噪声系数 \(G(t)\) 不依赖于解。随机积分将直接进入演化方程；具体的分析框架与噪声正则性将在后续工作中确定。
01
适定性与矩估计
为加性噪声模型建立存在性、唯一性及适当的随机矩估计。
02
稳定性与小噪声极限
研究解对随机驱动的敏感性，以及噪声幅度趋于零时向确定性基准模型的收敛。
03
数值探索
结合分析估计，考察直接随机驱动如何改变样本路径、平均价格及方差。
过往项目
Random Matrix Theory and Quantum Expanders
已结束 · 探索性研究
2026 年春季至夏季，在 Jananan Arulseelan 博士指导下，通过 ISmART 项目探索 Haar 分布酉矩阵与量子扩张子。